Normalverteilung Wahrscheinlichkeit Berechnen Beispiel Essay

Naturkatastrophen halten sich nicht an Normalverteilung

„Ein unvorhersehbares Ereignis ist per definitionem unvorhersehbar. Könnte man diese Elemente in Modelle einspeisen, dann würden sie funktionieren. Aber sie funktionieren nachweislich nicht, wenn man sie mit etwas Unvorhersehbarem konfrontiert“, erklärt der englische Journalist John Lanchester die Problematik unerwarteter Ereignisse in seinem Buch „Warum jeder jedem etwas schuldet und keiner jemals etwas zurückbezahlt“.

Emanuel Derman kritisiert, dass im Börsengeschäft die Gesetzmäßigkeiten, die in der Physik axiomatische Gültigkeit genießen, auf das Finanzgeschehen übertragen werden, so als würde man es mit einem rationalen mathematischen System zu tun haben und nicht mit Menschen und ihrer Irrationalität. In der Physik ist die Natur der einzige Akteur, der Einfluss auf das Geschehen nimmt. In der Wirtschaft allerdings sind es die Menschen. Und bei Menschen spielen psychologische Prozesse eine große Rolle.

Die Verführung das hochkomplexe Geschehen in mehr oder minder einfache Formeln zu pressen, aus denen dann klare Ergebnisse für das spätere Handeln herauskommen, ist jedoch zu groß, als dass solche Modelle aufgehen würden. Ein bekanntes Beispiel ist das Black-Scholes-Modell.

Die grössten Fehler der Anleger

„Die Neigung, Risiken einzugehen, ist mit zwei demografischen Faktoren verbunden: Geschlecht und Alter. Frauen sind normalerweise vorsichtiger als Männer und ältere Menschen sind weniger bereit, Risiken einzugehen, als jüngere Leute. Die Konsequenzen der Verhaltensökonomik für Anleger sind klar: Wie wir uns bei der Geldanlage entscheiden und wie wir uns bei der Verwaltung unserer Anlage entscheiden, hängt sehr davon ab, wie wir über Geld denken. [...] Sie demonstriert, dass Marktwerte nicht ausschließlich von den gesammelten Informationen bestimmt werden, sondern auch davon, wie menschliche Wesen diese Informationen verarbeiten.“

„Der Schmerz durch einen Verlust [ist] viel größer als die Freude über einen Gewinn. Bei einer 50:50-Wette, bei der die Chancen exakt gleich sind, riskieren die meisten Menschen nur dann etwas, wenn der potenzielle Gewinn doppelt so groß ist wie der potenzielle Verlust. Das nennt man asymmetrische Verlustaversion. [...] Auf den Aktienmarkt bezogen bedeutet dies, dass sich die Menschen beim Verlust von Geld doppelt so schlecht fühlen, wie sie sich gut fühlen, wenn sie einen Gewinn erzielen. Diese Abneigung gegen Verluste macht Anleger übertrieben vorsichtig, und das hat einen hohen Preis. [...] Wir wollen alle glauben, wir hätten gute Entscheidungen getroffen, und deshalb hängen wir zu lange an schlechten Entscheidungen, in der vagen Hoffnung, die Dinge werden sich noch wenden.“

Mit diesem Anfang der 70er-Jahre von Fischer Black und Myron Samuel Scholes entworfenen Finanzmodell wurde Aktienhändlern ein Instrument an die Hand gegeben, welches in der Lage sein soll, faire Preise für Optionen zu berechnen – allerdings mit dem Kompromiss recht wagemutiger Annahmen. Zu der wohl problematischsten Annahme gehört die der zeitlich konstanten Volatilität. Die Schwankungen respektive die Risiken treten im Modell in normalverteilter Häufigkeit auf.

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Jeder halbwegs ernsthaft agierende Finanzmarktakteur weiß, dass Schwankungen sehr viel häufiger und vor allem sehr viel heftiger auftreten, als vom Modell angenommen. Eine Naturkatastrophe wie in Fukushima, Terroranschläge wie der 11. September oder die Attentate in Madrid oder London halten sich nicht an normalverteilte Wahrscheinlichkeiten. Wann sie auftreten und wie heftig sie sich auf die Märkte auswirken, kann nicht berechnet werden.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable kann (in einem bestimmten Bereich) jeden beliebigen Wert annehmen. Man kann sie durch ihre Dichtefunktion f(x) beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen a und b liegt, entspricht der Fläche unter der Kurve, also dem Integral .

Die gesamte Fläche unter der Kurve ist 1 (sicheres Ereignis). Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, ist bei stetigen Verteilungen 0. Daher ist es egal, ob man P(X < a) oder P(X ≤ a) berechnet.

Auch Erwartungswert und Standardabweichung einer stetigen Verteilung werden mit Hilfe des Integrals definiert.

Die Normalverteilung

Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die von C. F. Gauß (1777 - 1855) entdeckte Normalverteilung (die bekannte "Glockenkurve"):

mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ.

Sie tritt bei vielen Größen im Alltag auf. Das Integral dieser Funktion können wir nicht berechnen, aber das haben wir zum Glück gar nicht nötig: Durch die Standardisierungsformel

erhalten wir die Standardnormalverteilung

,

deren Stammfunktion Φ wir in einer Tabelle nachschlagen können (in jeder Formelsammlung).

Der Wert Φ(z) in der Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die normierte Zufallsvariable Z ≤ z ist:
P(Z ≤ z) = Φ(z)

In manchen Tabellen sind nur die Werte für positive z angeführt. Aus Symmetriegründen ist
Φ(-z) = 1 - Φ(z)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Z ≥ z ist (Gegenereignis), beträgt
P(Z ≥ z) = 1 - Φ(z)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Z zwischen den Werten z1 und z2 liegt, beträgt
P(z1 ≤ Z ≤ z2) = Φ(z2) - Φ(z1)

Soll Z in einem symmetrischen Bereich (-z, z) liegen, erhalten wir
P(-z ≤ Z ≤ z) = Φ(z) - Φ(-z) = 2Φ(z) - 1

Dieser Wert wird in manchen Tabellen als D(z) angegeben.

Beispiel:

Eine Machine erzeugt Nägel mit einer durchschnittlichen Länge von μ = 50 mm. Die Länge der Nägel ist normalverteilt, die Standardabweichung beträgt σ = 2,5 mm.

  1. Wieviel Prozent aller Nägel sind kürzer als 48 mm?
    Normierung: z = (48 - 50)/2,5 = -0,8
    P(X < 48) = Φ(-0,8) = 0,2119 = 21,19%

  2. Wieviel Prozent aller Nägel sind länger als 51 mm?
    z = (51 - 50)/2,5 = 0,4
    P(X > 51) = 1 - Φ(0,4) = 0,3446 = 34,46%

  3. Wieviel Prozent aller Nägel sind zwischen 48 und 51 mm lang?
    P(48 ≤ X ≤ 51) = Φ(0,4) - Φ(-0,8) = 0,4435 = 44,35%

  4. Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 10% kürzesten gehört?
    Φ(z) = 0,1 Þ z = -1,28
    x = 50 - 1,28·2,5 = 46,8 Þ er darf höchstens 46,8 mm lang sein.

  5. Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 20% längsten gehört?
    1 - Φ(z) = 0,2 Þ Φ(z) = 0,8 Þ z = 0,84
    x = 50 + 0,84·2,5 = 52,1 Þ er muss mindestens 52,1 mm lang sein.

  6. In welchem symmetrischen Bereich (μ - ε, μ + ε) liegt die Länge von 90% aller Nägel?
    D(z) = 0,9 Þ z = 1,64
    x1 = 50 - 1,64·2,5 = 45,9, x2 = 50 + 1,64·2,5 = 54,1
    90% aller Nägel sind zwischen 45,9 mm und 54,1 mm lang.

Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Wenn die Anzahl der Versuche sehr groß ist, wird die Berechnung der Binomialverteilung zu aufwändig. Man kann sie dann näherungsweise durch die Normalverteilung mit demselben μ und σ ersetzen.
(Faustregel: σ muss ≥ 3 sein.)

Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 300maligem Würfeln höchstens 40mal Sechs zu werfen?
n = 300, p = 1/6 Þ μ = 300·1/6 = 50, σ = √(300·1/6·5/6) = 6,45
z = (40 - 50)/6,45 = -1,55
P(X ≤ 40) = Φ(-1,55) = 0,0606

Die Annnäherung wird noch genauer, wenn man die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt.
Im Histogramm der Binomialverteilung reicht z.B. der Streifen, der X = 40 entspricht, von 39,5 bis 40,5.
Für die Berechnung von P(X ≤ 40) nimmt man daher 40,5 als obere Grenze.
Für P(40 ≤ X ≤ 50) nimmt man die Grenzen 39,5 und 50,5.

Im obigen Beispiel erhält man mit Stetigkeitskorrektur:
z = (40,5 - 50)/6,45 = -1,47
P(X ≤ 40) = Φ(-1,47) = 0,0708

Weitere stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Lernziele:

  • Ich kann mit der Tabelle der Normalverteilung umgehen.
  • Ich kann eine Zufallsvariable in die normierte Zufallsvariable umrechnen und umgekehrt.
  • Ich kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.

Übungen:
Normalverteilung
Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

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